(转)果壳中的经典统计
摘要
一直想写一个有关经典统计的note，结合凝聚态场论学习中的一些经验，趁此机会写点我自己对经典统计的理解。
统计方法的引入
在经典力学的框架下，我们可以通过构造系统的拉格朗日量或哈密顿量来求出描述系统演化的拉格朗日方程或者正则方程，进而求解系统的各项性质。这种从最多的自由度出发精确求解系统相轨道的方法在数学上是困难的，从微分方程理论的角度来说，系统自由度的增加会极大地增加求解方程的困难，对于某些相互作用还会导致系统不可积，而且一旦方程是非线性的，这个系统就很有可能是极端初值依赖的，这使得对系统进行长时间的预测变为不可能，这些性质决定了运动方程在刻画多体系统上的不完备性。
但是，对于多体系统，我们真的有必要精确求解这个系统吗？统计方法告诉我们，如果我们将尺度放到整个多体系统或者某个整体的多体子系统的层次并且给定一个简单的假设，我们就能从巨大的自由度中得到很多非平凡的结论，这就是经典统计方法带来的优势。微正则系综处理的是不满足KAM定理的保守不可积系统，对于不可积系统是不存在力学解析解的，而不满足KAM定理的要求会带来相轨道的遍历性（满足KAM定理的系统即使存在微扰也会保KAM环面的拓扑，哈密顿相流是必然不遍历的，因此从力学出发是不可能导出统计方法的），对于能量约束下形成的相空间上的球面来说，哈密顿相流的遍历性启发我们用系综平均来取代瞬时的体系参量以描述统计系统，同时如果给定一个更强的等概率原理（其实可以理解成相空间中态上的随机行走，这一点是比遍历性要求更高的），我们就能够给出微正则系综的数学描述，但是接下来就牵涉到系综平均和时间平均是否等价的问题。
KAM定理的要求是在哈密顿量的可积部分上加上一项微扰项，微扰失效的情况下才会给系统引入遍历性，因此遍历性是统计方法的基本假设，在遍历性假设下时间平均才等于系综平均（哈密顿相流在能量球面上的随机行走轨迹能完全填充球面），但是实际上我们处理的很多系统的相互作用能不能打破KAM环面的拓扑是存疑的，在很多非线性系统中存在的吸引子也能够引发遍历性破缺。在我们的统计物理中，环境的噪声就被当成遍历性假设成立的解释之一，毕竟对于初值敏感的系统，噪声带来的微扰是影响巨大的。当然对于经典系统，能量很自然地假设是连续变化的，这个也是经典统计的一大基本假设。
经典统计的局限性
经典统计的局限性在很多微观体系中其实已经浮现，比如在固体比热和多原子分子气体乃至黑体辐射的分析中就已经一窥踪影。其原因无外乎三点：1、能级的不连续性被极小的宏观平均能级差隐藏；2、自旋乃至更高的自由度没有被考虑；3、能量表象下简并度被忽略。
在我看来，第三点是经典统计最容易引入的修正，因为这个简并度在从微正则系综到正则系综的映射中就已经隐含了。微正则系综作为孤立系，在相空间中的自由度是最大的，需要考虑孤立系中全部子系统的轨迹，但是一旦我们考虑一个温度恒定的热源，通过积分积去环境带来的自由度，这样就完成了从微正则系综到正则系综的跃变。在这个过程中，很明显，被隐藏的自由度会带来更高的对称性，以至于在任意表象下都会引入非平庸的分布函数，但是目前我们刻意地只保留了指数的部分而忽略了具体表象下存在的其余对称性，比如k空间中谐振子波模就是存在简并度的，这一点在黑体辐射的经典分析中已经得到体现。
对于凝聚态体系，自旋都是极其重要的，自旋自由度就是磁性系统的基础，但是对于自旋，我们也可以在完全应用量子场论之前做一点经典的统计，比如著名的伊辛模型，这个经典的自旋体系（区别于海森堡模型的自旋）可以做平均场，当然对于一维的伊辛模型的平均场得出的有限温相变点是很离谱的错误，但这不妨碍做高维的伊辛模型平均场（精确很多），这个模型往里挖还能引入很多新的思想，比如重整化，这里就不继续讨论了。
能级不连续作为两朵大乌云中的一朵，在黑体辐射的研究被揭露了出来，无相互作用玻色子系统的能隙是产生玻色-爱因斯坦凝聚的关键，实验上在多原子分子的平均能量中我们也能看到阶梯状的随温度变化的情形，经典统计是得不出这样奇妙的结果的，毕竟经典系统是无能隙的。
结束语
经典统计是研究多体系统的重要工具，也是进入量子统计的基础，在经典统计中很多方法在量子统计中依然有用武之地，比如平均场和团簇展开都是非常常见的技术，其思想更是在物理学中占有极重的地位，因此经典统计对于我们的同学实属应该学好、必须学好的一种理论，这对今后的学习与研究都是有大益处的。
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